계통수 모형

기초 자산 가격 모형은 계통수 모형을 구성하는 핵심 요소로, 시간에 따른 기초 자산의 가격 변동 경로를 이산적인 형태로 모의한다. 이 모형은 미래의 특정 시점에서 기초 자산 가격이 취할 수 있는 가능한 값들을 사전에 정의된 규칙에 따라 나무(트리) 구조로 펼쳐 보여준다. 각 마디는 특정 시점의 가격 수준을 나타내며, 가지는 한 시점에서 다음 시점으로 가격이 변동할 수 있는 경로를 의미한다.

가장 기본적인 형태인 이항 트리 모형에서는, 각 단계에서 기초 자산의 가격이 정해진 비율로 상승하거나 하락하는 두 가지 가능성만을 고려한다. 이 상승 인자와 하락 인자는 기초 자산의 변동성과 무위험 이자율 등을 바탕으로 결정된다. 이러한 방식으로 현재 가격에서 시작해 만기까지 여러 시간 단계를 거치며 모든 가능한 미래 가격 경로를 생성한다.

이 모형은 복잡한 연속 확률 과정을 단순화한 것이지만, 시간 단계를 충분히 세분화하면 블랙-숄즈 모형과 같은 연속 시간 모형의 결과에 근사하는 것이 수학적으로 증명되어 있다. 따라서 기초 자산 가격의 확률적 행동을 이해하고, 이를 바탕으로 파생상품의 공정 가치를 계산하는 데 필수적인 토대를 제공한다.

위험 중립 확률은 계통수 모형을 사용한 옵션 평가에서 핵심적인 역할을 하는 개념이다. 이는 실제 시장에서의 위험 선호도와는 무관하게, 모든 투자자가 위험에 대해 중립적이라고 가정하는 가상의 세계에서의 확률을 의미한다. 이 가정 하에서는 모든 자산의 기대 수익률이 무위험 이자율과 동일해지며, 이를 통해 파생상품의 현재 가치를 기초 자산의 미래 가격 분포에 대한 기대값을 무위험 이자율로 할인하여 계산할 수 있다.

이항 트리 모형에서 위험 중립 확률은 구체적으로 계산된다. 기초 자산 가격이 상승할 확률을 p, 하락할 확률을 (1-p)라고 할 때, 이 p는 실제 확률이 아니라 위험 중립 세계에서의 확률이다. 이 값은 무위험 이자율, 자산 가격의 상승 배율, 하락 배율을 이용한 방정식으로 결정되며, 이 방정식은 위험 중립 세계에서 기대 수익률이 무위험 이자율과 같아져야 한다는 조건에서 유도된다.

이러한 위험 중립 확률을 통해 계산의 복잡성이 크게 줄어든다. 평가자는 자산 가격의 변동에 대한 실제 예측이나 투자자의 위험 선호도를 고려할 필요 없이, 트리의 말단 노드에서의 옵션 가치와 위험 중립 확률만으로 트리를 역으로 거슬러 올라가 옵션의 현재 공정 가치를 도출할 수 있다. 이 방법은 블랙-숄즈 모형과 같은 연속 시간 모형과도 일관된 결과를 제공하는 이론적 토대가 된다.

따라서 위험 중립 확률은 계통수 모형을 활용한 금융 공학 분석의 실용성을 높이는 중요한 장치이다. 이를 통해 다양한 파생상품의 가치를 체계적이고 효율적으로 평가할 수 있으며, 헤지 전략 구성의 기초가 되기도 한다.

계통수 모형에서 옵션 가치의 역산 계산은 트리의 말단 노드에서부터 시작하여 뿌리 노드(현재 시점) 방향으로 거슬러 올라가며 가치를 계산하는 과정이다. 이 방법은 만기일에서의 옵션 가치가 명확히 정의되어 있다는 점에 기반한다. 예를 들어, 유럽형 옵션의 경우 만기 시점에서의 내재 가치는 기초 자산 가격과 행사가를 비교하여 쉽게 결정할 수 있다. 계산자는 이렇게 알려진 미래의 가치들로부터, 할인과 기대값의 개념을 활용하여 각 이전 시점의 노드에서 옵션이 가져야 할 공정한 가치를 순차적으로 도출해 낸다.

계산의 핵심은 위험 중립 평가 원리이다. 각 노드에서, 그 노드로부터 다음 기에 도달할 수 있는 두 개(이항 트리의 경우)의 가능한 미래 가치를 고려한다. 이 두 가치에 각 경로의 위험 중립 확률을 곱한 후 기대값을 구하고, 이를 무위험 이자율로 한 기간 할인하면 현재 노드의 옵션 가치가 된다. 이 과정을 수학적으로 표현하면, 한 노드의 가치는 그 자식 노드들의 기대 가치를 무위험율로 할인한 값이다. 이러한 역방향 전개 방식을 통해 복잡한 조기 행사 권리를 가진 미국형 옵션의 평가도 가능하다.

미국형 옵션의 경우, 각 노드에서 계산된 지속 가치(행사하지 않고 보유할 경우의 가치)와 즉시 행사 가치를 비교해야 한다. 옵션 보유자는 두 가치 중 더 높은 쪽을 선택할 권리가 있으므로, 해당 노드의 옵션 가치는 이 두 값 중 최대값으로 결정된다. 이 비교 연산이 역산 과정의 각 단계에 포함됨으로써, 최적의 행사 전략이 내재된 옵션 가치를 찾아낼 수 있다. 이 방법은 베르누이 시행의 반복으로 모형화된 가격 경로 상에서 동적 계획법을 적용하는 것과 동일하다.

역산 계산법의 가장 큰 장점은 직관적이고 구현이 비교적 간단하다는 점이다. 수치해석적 방법으로 분류되며, 몬테카를로 시뮬레이션과 같은 다른 수치 방법에 비해 옵션 가치 함수의 전체 구조를 트리를 통해 한눈에 살펴볼 수 있다. 또한, 배당금 지급이나 이자율이 시간에 따라 변하는 것과 같은 다양한 조건을 모형에 통합하기도 용이하다. 이 방법은 이항 옵션 평가 모형의 핵심 알고리즘으로, 금융공학과 파생상품 평가의 기초를 이루는 중요한 도구이다.

이항 트리 모형은 계통수 모형의 가장 기본적이고 대표적인 형태이다. 이 모형은 각 마디에서 가격이 두 가지 가능한 방향(상승 또는 하락)으로만 분기된다는 가정에 기반한다. 각 시간 단계마다 기초 자산의 가격이 정해진 비율로 올라가거나 내려가는 두 가지 시나리오만을 고려하기 때문에 '이항'이라는 이름이 붙었다.

이 모형의 핵심 구성 요소는 상승 승수(u), 하락 승수(d), 그리고 위험 중립 확률(p)이다. 상승 승수는 가격이 상승할 때 곱해지는 비율이며, 하락 승수는 가격이 하락할 때 곱해지는 비율이다. 위험 중립 확률은 실제 확률이 아닌, 위험 중립 측도 하에서의 가격 상승이 일어날 것으로 기대되는 확률을 의미한다. 이러한 매개변수들은 자산의 변동성과 무위험 이자율을 바탕으로 결정된다.

이항 트리 모형은 계산이 비교적 간단하고 직관적이라는 장점이 있다. 옵션과 같은 파생상품의 가치를 평가할 때, 만기 시점에서부터 시작하여 트리를 역으로 거슬러 올라가며 각 마디에서의 기대 가치를 할인하는 방식으로 현재 가치를 계산할 수 있다. 이 방법은 다양한 조건의 옵션(예: 미국식 옵션, 유럽식 옵션) 평가에 적용 가능하다.

그러나 이 모형은 가격 변동을 단지 두 가지 경우로만 단순화하기 때문에 실제 금융 시장의 연속적이고 복잡한 가격 움직임을 완벽히 설명하기에는 한계가 있다. 시간 단계를 매우 촘촘하게 나누어 근사하는 방식으로 정확도를 높일 수 있지만, 이는 계산량을 증가시킨다. 이러한 단점을 보완하기 위해 개발된 더 복잡한 모형으로는 삼항 트리 모형이나 몬테카를로 시뮬레이션 등이 있다.

삼항 트리 모형은 이항 트리 모형보다 더 많은 가격 경로를 고려하는 옵션 가격결정 모형이다. 이항 트리 모형이 각 기간마다 가격이 상승하거나 하락하는 두 가지 가능성만을 가정하는 반면, 삼항 트리 모형은 각 단계에서 가격이 상승, 하락 또는 횡보(변동 없음)하는 세 가지 가능성을 설정한다. 이는 가격 변동을 더 세밀하게 모델링할 수 있게 해주며, 특히 변동성이 높은 시장이나 복잡한 파생상품 평가에 유용하다.

삼항 트리 모형의 계산은 기본적으로 위험 중립 평가 프레임워크를 따르지만, 각 노드에서 세 가지 상태를 고려해야 하므로 위험 중립 확률을 세 가지로 나누어 할당한다. 각 기간의 가격 변화 폭과 위험 중립 확률은 모형의 일관성을 유지하도록 설정되며, 블랙-숄즈 모형과 같은 연속시간 모형의 결과에 더 빠르게 수렴하는 경향을 보인다. 이 모형은 이자율 옵션이나 장외 옵션과 같이 표준 이항 트리로 평가하기 어려운 상품의 가치를 계산하는 데 활용된다.

계통수 모형은 생물의 진화 역사를 추론하고 종 간의 관계를 파악하는 데 핵심적으로 활용된다. 이 모형은 주로 진화생물학과 분류학 분야에서 생물의 계통 발생적 관계를 시각적으로 표현하는 도구로 사용된다. 계통학 연구의 기본이 되는 이 모형을 통해 연구자들은 다양한 생물 종이 공통 조상으로부터 어떻게 분화되어 왔는지 그 역사를 재구성할 수 있다.

계통수 모형을 이용한 평가는 크게 두 가지 목적을 가진다. 첫째는 종 분화의 시점과 순서를 추정하는 것이며, 둘째는 생물 분류학적 체계를 구축하는 데 필요한 객관적 근거를 제공하는 것이다. 이를 위해 유전자 서열, 형태학적 형질 등 다양한 데이터가 입력되어 계통 분석이 수행된다. 분석 결과 생성된 계통나무는 생명의 나무 개념의 구체적 구현체로 간주될 수 있다.

이러한 평가 과정에서 모형의 구성 요소인 마디와 가지는 각각 중요한 의미를 지닌다. 마디는 공통 조상 종을, 가지는 진화적 변화가 일어난 기간과 정도를 나타낸다. 따라서 최종적으로 도출된 계통수는 현생 종들뿐만 아니라 그 사이에 존재했을 조상 종들의 관계까지도 보여주는 지도와 같은 역할을 한다. 이는 단순한 분류를 넘어 생명의 역사를 이해하는 데 필수적인 도구이다.

계통수 모형은 옵션 평가 외에도 다양한 파생상품의 가치를 산정하는 데 활용된다. 기본적으로 이항 트리 모형이나 삼항 트리 모형과 같은 계산 방법은 기초 자산의 미래 가격 변화를 이산적으로 모형화할 수 있기 때문에, 만기까지 여러 결정 지점이 존재하거나 조기 행사가 가능한 복잡한 상품의 평가에 적합하다.

대표적인 응용 사례로는 미국식 옵션 평가가 있으며, 이는 유러피언 옵션과 달리 만기 전 어느 시점에서나 행사가 가능하기 때문에 역산 계산 과정에서 각 마디에서의 내재 가치와 잔존 가치를 비교하는 로직이 추가된다. 또한, 이항 트리는 배리어 옵션이나 아시아 옵션과 같이 경로 의존적 옵션의 가격을 근사적으로 계산하는 데에도 사용될 수 있다. 이 경우 기초 자산의 평균 가격이나 특정 가격 장벽 도달 여부를 트리의 각 경로에서 추적하여 평가한다.

더 나아가, 이자율 파생상품 평가에도 적용될 수 있다. 이자율 트리 모형은 미래 이자율의 확률적 변화를 트리 구조로 나타내어, 채권이나 스왑, 캡 및 플로어 등의 가치를 계산하는 데 사용된다. 이는 위험 중립 확률 하에서 다양한 이자율 경로를 고려한 할인을 통해 이루어진다.

이처럼 계통수 모형은 그 유연성으로 인해 표준 블랙-숄즈 모형으로 평가하기 어려운 다양한 파생상품의 가격 발견과 위험 관리에 중요한 도구로 자리 잡고 있다.